Арифметична прогресія та її властивості
Арифметична прогресія — це одна з базових тем у шкільній математиці, яка часто зустрічається як у задачах, так і в реальному житті. Вона допомагає нам зрозуміти закономірності зміни чисел і є основою для подальшого вивчення алгебри.
Зрозумівши цю тему, ви зможете швидко знаходити потрібні значення та розв’язувати типові задачі. Нумо розбиратися!
Що таке арифметична прогресія?
Арифметична прогресія — це послідовність чисел, у якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на одне й те саме число. Це число називається різницею прогресії.
Наприклад: 2, 5, 8, 11, 14…
Тут кожного разу додається 3 — це і є різниця прогресії.
Як позначається арифметична прогресія?
Арифметичну прогресію позначають так: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, де:
a₁ — перший член прогресії;
a₂, a₃… — наступні члени;
aₙ — n-й член прогресії;
d — різниця прогресії.
Формули арифметичної прогресії
Основна формула для знаходження n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d
Вона показує, як знайти будь-який член прогресії, якщо відомі перший член і різниця.
Сума арифметичної прогресії
Сума перших n членів обчислюється за формулою: sₙ = (a₁ + a₂)n / 2
Або альтернативно: sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2
Ці формули дозволяють швидко знайти суму без додавання кожного числа окремо.
Що таке d в арифметичній прогресії?
d — це різниця між сусідніми членами прогресії. Вона показує, на скільки змінюється кожне наступне число.
Наприклад: 10, 7, 4, 1…
Тут d = –3 (кожен раз віднімаємо 3).
Як знайти d арифметичної прогресії?
Щоб знайти різницю, потрібно від наступного члена відняти попередній: d = a₂ – a₁ або d = aₙ – aₙ₋₁.
Як знайти а1 арифметичної прогресії?
Якщо відомі інші дані, перший член можна знайти з формули: a₁ = aₙ – (n – 1)d.
Це корисно тоді, коли задано не початок, а один із членів прогресії.
Приклади арифметичної прогресії
Приклад 1. Знайти 6-й член прогресії: 3, 7, 11…
a₁ = 3
d = 4
n = 6
a₆ = 3 + (6 – 1) × 4 = 3 + 20 = 23
Приклад 2. Знайти суму перших 5 членів: 2, 5, 8, 11, 14.
a₁ = 2
a₅ = 14
n = 5
S₅ = (2 + 14) × 5 / 2 = 16 × 5 / 2 = 40
Приклад 3. Знайти різницю прогресії: 12, 9, 6, 3…
d = 9 – 12 = –3
d = –3
Приклад 4. Знайти перший член прогресії, якщо a₅ = 25, d = 4.
a₁ = a₅ – (5 – 1) × 4 = 25 – 16 = 9
a₁ = 9
Приклад 5. Знайти суму перших 10 членів прогресії: 1, 3, 5…
a₁ = 1
d = 2
n = 10
a₁₀ = 1 + (10 – 1) × 2 = 19
S₁₀ = (1 + 19) × 10 / 2 = 100
S₁₀ = 100
Чим відрізняється арифметична прогресія від геометричної?
Головна різниця між арифметичною та геометричною прогресіями — у способі зміни чисел.
Арифметична прогресія: кожен член отримують додаванням або відніманням одного й того ж числа.
Геометрична прогресія: кожен член отримують множенням на одне й те саме число.
Наприклад:
арифметична: 2, 4, 6, 8…
геометрична: 2, 4, 8, 16…
Тобто в першому випадку ми додаємо, у другому — множимо.
Тема арифметичної прогресії формує основу для розуміння складніших математичних понять. Вона часто трапляється в задачах на іспитах і необхідна для підготовки до олімпіади з математики, тому з цими формулами варто добре розібратися та навчитися застосовувати їх на практиці.
Якщо тема здається складною — ви можете розібрати її з репетитором математики в індивідуальному онлайн-форматі.
Ознайомтеся з нашими послугами
