Що таке ірраціональні числа?

Чи ви коли-небудь стикалися з числами, які неможливо точно записати у вигляді звичайного дробу? Наприклад, √2 або число π — вони нескінченні та неперіодичні. Це і є ірраціональні числа, і вони відіграють важливу роль у математиці. У цій статті ми розповімо, які числа вважаються ірраціональними, в чому їхня особливість, як їх виявили та як їх правильно використовувати.

Які числа є ірраціональними?

Ірраціональні числа — це дійсні числа, які не можна подати у вигляді дробу m/n, де m і n — цілі числа. На відміну від раціональних (як ½ або 0,75), ірраціональні числа мають нескінченну неперіодичну десяткову частину.

Розгляньмо кілька відомих прикладів:

√2 (діагональ квадрата зі стороною 1) = 1,4142135623730950488016887242097…

π (число Пі), яке дорівнює відношенню довжини кола до діаметра = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937...

e (число Ейлера) — основа натурального логарифма ≈ 2,71828...

φ (золотий перетин) — число, яке часто зустрічається в мистецтві та природі ≈ 1,618…

Ці числа не можна точно виразити через дріб, але вони існують і широко використовуються в науці, інженерії та філософії.

Як відкрили ірраціональні числа?

Відкриття ірраціональних чисел стало справжньою революцією в математиці Стародавньої Греції. Легенда пов’язує його з піфагорійцями — послідовниками Піфагора.

Вони вважали, що всі числа можна виразити дробом, але одного разу зіткнулися з проблемою: діагональ одиничного квадрата (√2) не підкорялася їхнім правилам. Спроби записати √2 у вигляді дробу зазнали невдачі, і це стало першим доказом існування «невимовних» чисел.

Приклади ірраціональних чисел

Окрім вже нам відомих π, e, φ та √2, існує ціла родина цікавих ірраціональних чисел:

√3 ≈ 1,732... — виникає в рівносторонніх трикутниках.

√5 ≈ 2,236... — пов'язаний з золотим перетином.

ln(2) ≈ 0,693... — натуральний логарифм двійки.

ζ(3) ≈ 1,202... — стала Апері (використовується в теорії чисел).

Цікавий факт: Кількість ірраціональних чисел на числовій прямій набагато більша за кількість раціональних!

Де застосовуються ірраціональні числа?

Ірраціональні числа можна знайти у багатьох сферах, наприклад:

1. У комп'ютерній графіці. Алгоритми малювання кіл використовують число π.

2. У криптографії. Ірраціональні числа допомагають при створенні шифрів.

3. В архітектурі та фотографії. Золотий перетин визначає ідеальні пропорції.

4. В астрономії. Розрахунки орбіт потребують ірраціональних констант.

5. Ну і, звісно ж, в алгебрі, геометрії та фізиці.

Цікавий факт: При будівництві піраміди Хеопса використовувалися пропорції, пов'язані з числом φ.

Яка різниця між раціональними та ірраціональними числами?

1. Форма запису.

Найголовніша відмінність полягає в тому, як можна виразити раціональні та ірраціональні числа:

Раціональні можна точно представити у вигляді дробу m/n, де m — ціле число, а n — натуральне. Наприклад:

• 5 = 5/1

• 0.75 = ¾

• 0.333... = 1/3

А ірраціональні неможливо точно записати у такій формі. Вони завжди мають нескінченний неперіодичний десятковий запис:

• √2 ≈ 1.414213562…

• π ≈ 3.141592653...

2. Десятковий запис.

Цей факт випливає з першого пункту, але його також варто виділити окремо.

Раціональні числа мають:

• або скінченний десятковий запис (0.5, 3.125)

• або нескінченний періодичний (0.333..., 1.285714285714...)

А ірраціональні завжди мають нескінченний неперіодичний десятковий запис. Немає жодного способу точно записати їх у вигляді десяткового дробу.

3. Геометричне представлення.

На числовій прямій раціональні числа всюди розташовані щільно — між будь-якими двома числами знайдеться раціональне.

Однак ірраціональних набагато більше! Вони «заповнюють» прогалини між раціональними.

4. Арифметичні операції.

Результати дій з раціональними числами (сума, різниця, добуток або частка) — завжди раціональні.

А от для ірраціональних — результат може бути як раціональним, так і ірраціональним:

• √2 × √2 = 2 (раціональне)

• √2 × √3 = √6 (ірраціональне)

5. Історичний контекст.

Раціональні числа були відомі з давніх часів.

Ірраціональні відкрили пізніше (в V ст. до н.е.), і це викликало справжній шок у математиків того часу. Ще довго після цього відкриття ірраціональні числа вважалися чимось «недосконалим».

6. Практичне застосування.

Раціональні числа використовують для точних обчислень.

А ірраціональні часто виникають у природних процесах і фізичних законах.

Проте важливо знати, що будь-яке ірраціональне число можна наблизити раціональним з будь-якою точністю. Саме тому в практичних розрахунках ми часто використовуємо наближені значення типу π ≈ 3.14.

Ірраціональні числа допомагають будувати мости, проєктувати супутники і створювати шедеври мистецтва, тому вони залишаються дуже важливими попри свою «недосконалість».

Щоб краще розібратися в темах, пов’язаних із числами, рівняннями, геометричними фігурами та іншими математичними поняттями, варто регулярно практикуватися та поглиблювати знання. Репетитор з математики допоможе вам систематизувати інформацію, пояснить складні теми доступно та навчить застосовувати правила на практиці. А якщо ви готуєтеся до іспитів, підготовка до НМТ з математики з досвідченим викладачем стане надійним способом закрити всі прогалини в знаннях та впевнено почуватися під час тестування.