Геометрична прогресія та її властивості

Послідовності чисел допомагають нам описувати процеси, які повторюються за певним правилом. Якщо кожне наступне число отримують множенням попереднього на те саме значення, утворюється геометрична прогресія.

Ми можемо спостерігати її як на уроках алгебри, так і під час обчислення банківських відсотків, зміни чисельності організмів або зменшення вартості техніки. Тому в цій статті ми з вами розберемо основні формули й властивості геометричної прогресії, розв’язані приклади, практичні завдання та відповіді на поширені запитання.

Що таке геометрична прогресія?

Геометрична прогресія — це послідовність відмінних від нуля чисел, кожен наступний член якої дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.

Наприклад: 2, 6, 18, 54, 162…

Кожен наступний член отримуємо множенням попереднього на 3:

• 2 × 3 = 6;

• 6 × 3 = 18;

• 18 × 3 = 54.

Число 3 називають знаменником геометричної прогресії та позначають літерою q.

У загальному вигляді послідовність записують так:

b₁, b₂, b₃, …, bₙ, де:

• b₁ — перший член;

• bₙ — член із номером n;

• q — знаменник прогресії.

Якщо q > 1, додатні члени збільшуються.

За 0 < q < 1 вони наближаються до нуля.

Якщо q < 0, знаки членів чергуються.

Формули геометричної прогресії

1. Щоб знайти будь-який член послідовності, використовують формулу: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹.

Наприклад, якщо b₁ = 2, q = 3, а потрібно знайти четвертий член: b₄ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.

2. Знаменник можна обчислити, поділивши будь-який член, починаючи з другого, на попередній: q = bₙ ÷ bₙ₋₁.

Наприклад: q = 18 ÷ 6 = 3.

3. Суму перших n членів за q ≠ 1 знаходимо так: Sₙ = [b₁ × (qⁿ − 1)] ÷ (q − 1).

Також можна використати рівносильну формулу: Sₙ = [b₁ × (1 − qⁿ)] ÷ (1 − q).

4. Якщо q = 1, усі члени однакові, тому: Sₙ = n × b₁.

У подібних завданнях важливо правильно визначити, які величини відомі в умові. Якщо формули поки що плутаються або вам складно скласти рівняння, репетитор математики може індивідуально розібрати з вами алгоритми та закріпити їх на завданнях різної складності.

Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Нескінченна спадна геометрична прогресія має суму, якщо модуль знаменника менший за одиницю: |q| < 1.

Тоді її члени поступово наближаються до нуля, а суму знаходять за формулою: S = b₁ ÷ (1 − q).

Наприклад, маємо прогресію: 12, 6, 3, 1,5…

У ній b₁ = 12, а q = 0,5. Отже: S = 12 ÷ (1 − 0,5) = 12 ÷ 0,5 = 24.

Якщо |q| ≥ 1, суми нескінченної геометричної прогресії не існує.

Властивості геометричної прогресії

Для трьох послідовних членів виконується рівність: bₙ² = bₙ₋₁ × bₙ₊₁.

Тобто квадрат будь-якого члена, крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх.

Наприклад, для чисел 4, 12 і 36: 12² = 4 × 36 = 144.

Якщо всі члени додатні, певний член прогресії є середнім геометричним двох сусідніх: bₙ = √(bₙ₋₁ × bₙ₊₁).

Добутки членів, однаково віддалених від початку й кінця скінченної прогресії, також рівні: b₁ × bₙ = b₂ × bₙ₋₁ = b₃ × bₙ₋₂.

Ці властивості часто допомагають розв’язувати задачі без обчислення всіх елементів. А складніші нестандартні вправи можна опрацьовувати індивідуально з репетитором під час підготовки до олімпіади з математики.

Графік геометричної прогресії

Геометрична прогресія є послідовністю, тому її графік складається з окремих точок із координатами: (n; bₙ).

Ці точки належать графіку функції: y = b₁ × qˣ⁻¹, але для прогресії враховують лише натуральні значення x.

За q > 1 додатна послідовність зростає, а за 0 < q < 1 — спадає й наближається до осі абсцис. Якщо q < 0, точки почергово розташовуються вище та нижче цієї осі.

Різниця між геометричною та арифметичною прогресіями

В арифметичній прогресії до кожного члена додають однакове число d: aₙ₊₁ = aₙ + d.

А у геометричній прогресії попередній член множать на знаменник q: bₙ₊₁ = bₙ × q.

Наприклад, 3, 7, 11, 15 — це арифметична прогресія з різницею d = 4.

А послідовність 3, 6, 12, 24 — це геометрична прогресія зі знаменником q = 2.

Приклади

Приклад 1.

Знайдемо п’ятий член прогресії 2, 6, 18…

Відомо: b₁ = 2, q = 3, n = 5.

Підставляємо числа у формулу: b₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.

Приклад 2.

Обчислимо суму перших п’яти членів прогресії S₅ = [2 × (3⁵ − 1)] ÷ (3 − 1).

Відповідь: S₅ = [2 × (243 − 1)] ÷ 2 = 242.

Приклад 3.

Відомо: b₂ = 10, а q = 2.

Знайдемо перший член: b₁ = b₂ ÷ q; b₁ = 10 ÷ 2 = 5.

Завдання на геометричну прогресію

Тепер спробуйте самостійно розв’язати ці завдання. Відповіді будуть вказані нижче.

1. Знайдіть шостий член прогресії, якщо b₁ = 5, q = 2.

2. Визначте п’ятий член послідовності 81, 27, 9…

3. Обчисліть суму перших чотирьох членів прогресії 3, 6, 12…

4. Знайдіть суму нескінченної прогресії, якщо b₁ = 4, q = ½.

5. Чи є числа 4, 12 і 36 послідовними членами геометричної прогресії?

Відповіді:

1. 160

2. 1

3. 45

4. 8

5. Так, оскільки 12² = 4 × 36.

Геометрична прогресія в житті

За принципом геометричної прогресії змінюються величини, які на кожному етапі збільшуються або зменшуються в однакову кількість разів. Наприклад:

• сума на депозиті зі складними відсотками;

• кількість бактерій за рівні проміжки часу;

• поширення інформації між людьми;

• висота відскоку м’яча, якщо щоразу вона становить однакову частину попередньої;

• зменшення кількості радіоактивної речовини;

• падіння вартості товару на однаковий відсоток щороку.

Ці моделі є спрощеними, адже реальні процеси можуть залежати від додаткових умов. Проте вони допомагають оцінити швидкість зростання або зменшення величини.

Відповіді на поширені запитання

1. Як позначається геометрична прогресія?

Її члени зазвичай позначають b₁, b₂, …, bₙ. Усю послідовність можна записати як (bₙ).

2. Що таке q геометричної прогресії?

Це знаменник прогресії — незмінне число, на яке множать попередній член, щоб отримати наступний: q = bₙ ÷ bₙ₋₁.

3. Як знайти b1 геометричної прогресії?

Якщо відомі bₙ, q і номер n, використовуємо формулу: b₁ = bₙ ÷ qⁿ⁻¹.

Також перший член можна знайти через другий: b₁ = b₂ ÷ q.