Кут та його види

Кут — одне з базових понять геометрії. З ним учні знайомляться ще в початкових класах, а згодом використовують під час вивчення трикутників, многокутників, кіл, тригонометрії та стереометрії.

Але кути також можна побачити у нашому повсякденному житті: у формах будинків, меблів, дорожніх конструкцій, стрілках годинника та геометричних фігурах. Це цікаво!

У цій статті ми розглянемо, що таке кут, як його правильно позначати, чим відрізняються прямі, гострі, тупі, розгорнуті, суміжні, вертикальні та інші кути.

Що таке кут?

Кут — це геометрична фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки.

Спільна точка називається вершиною кута, а два промені — його сторонами.

Наприклад, маємо промені OA та OB, які виходять із точки O. Вони утворюють кут AOB, де: O — вершина; OA та OB — сторони кута.

У шкільній геометрії величину кута вимірюють у градусах (°), зазвичай використовуючи транспортир.

Як позначається кут?

Для позначення кута використовують символ ∠. Наприклад: ∠AOB.

Якщо кут позначають трьома буквами, буква, яка відповідає його вершині, завжди стоїть посередині. Тому в ∠AOB вершиною є точка O.

Якщо біля однієї вершини немає інших кутів і зрозуміло, про який саме кут ідеться, можна використати лише одну букву: ∠O.

Градусну міру записують так: ∠AOB = 60°. Це означає, що кут AOB дорівнює 60 градусів.

Які є кути?

Кути можна класифікувати за їхньою градусною мірою, розташуванням відносно інших кутів або геометричних об'єктів:

• гострий — менше 90°;

• прямий — 90°;

• тупий — більше 90°, але менше 180°;

• розгорнутий — 180°.

Розгляньмо всі основні види докладніше.

Що таке прямий кут?

Прямий кут — це кут, градусна міра якого дорівнює 90°. Наприклад: ∠ABC = 90°.

Якщо дві прямі перетинаються під прямим кутом, їх називають перпендикулярними.

Що таке розгорнутий кут?

Розгорнутий кут — це кут, градусна міра якого становить 180°.

Його сторони є протилежно напрямленими променями й разом утворюють пряму.

Що таке тупий кут?

Тупий кут — це кут, який більший за 90°, але менший за 180°. Тобто: 90° < α < 180°.

Наприклад: 100°, 125°, 150°, 179°. А от кут 180° вже не є тупим — він розгорнутий.

Який кут є гострим?

Гострий кут — це кут, градусна міра якого більша за 0°, але менша за 90°. Тобто: 0° < α < 90°.

Наприклад: 15°, 30°, 45°, 60° або ж 89°.

Що таке суміжні кути?

Суміжними називають два кути, які мають одну спільну сторону, а дві інші сторони є протилежними променями. Їхня головна властивість: α + β = 180°.

Наприклад, якщо один суміжний кут дорівнює 70°, другий можна знайти так: 180° – 70° = 110°.

Звідси можна зробити ще один корисний висновок:

• кут, суміжний із гострим, буде тупим, а суміжний із тупим — гострим;

• якщо один із суміжних кутів дорівнює 90°, то другий також дорівнює 90°.

Що таке центральний кут?

Центральний кут — це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола, а його сторони проходять через точки цього кола.

Наприклад, якщо O — центр кола, а точки A та B лежать на колі, то ∠AOB є центральним.

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.

Наприклад, якщо: ∠AOB = 60°, то відповідна дуга AB також має градусну міру 60°.

Що таке двогранний кут?

Двогранний кут — це просторова геометрична фігура, утворена двома півплощинами зі спільною граничною прямою.

Уявити його можна на прикладі напіввідкритої книжки. Дві її сторінки нагадують площини, між якими утворюється двогранний кут, а корінець — їхню спільну межу.

На відміну від звичайного плоского кута, двогранні кути вивчають у стереометрії, тобто геометрії простору.

Лінійний кут

У темі двогранних кутів використовується поняття лінійного кута двогранного кута.

Щоб його утворити, у кожній грані двогранного кута проводять промені, перпендикулярні до його ребра та з початком в одній точці цього ребра. Кут між такими променями й називають лінійним кутом двогранного кута.

Саме за лінійним кутом визначають градусну міру двогранного кута.

Вертикальні кути

Вертикальні кути виникають під час перетину двох прямих. Вертикальними є два кути, сторони одного з яких є продовженнями сторін іншого.

Головна властивість дуже проста: вертикальні кути рівні.

Наприклад, якщо один вертикальний кут дорівнює 50°, протилежний йому також дорівнює: 50°. А при перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів.

Поширенні питання

1. Який кут утворюють стрілки годинника о 15 годині 30 хвилин?

О 15:30 (або ж 3:30), хвилинна стрілка знаходиться на позначці 6, тобто на 180° від позначки 12.

Годинникова стрілка за половину години вже проходить половину шляху від 3 до 4. О 3:00 вона знаходиться на 90°, а за наступні 30 хвилин переміщується ще на 15°.

Отже: 180° – 105° = 75°. Менший кут між стрілками о 15:30 становить 75°.

2. Як виміряти кут 90 градусів рулеткою?

Для точної побудови прямого кута краще використовувати кутник. Проте для геометричної побудови можна скористатися співвідношенням сторін прямокутного трикутника 3 : 4 : 5.

Якщо від однієї точки відкласти в двох напрямках відрізки, пропорційні 3 і 4, то відстань між їхніми кінцями має бути пропорційною 5. Це випливає з теореми Піфагора: 3² + 4² = 5².

Отже, кут між двома коротшими сторонами такого трикутника дорівнює 90°.

3. Який кут утворюють дві перпендикулярні прямі при їхньому перетині?

Дві перпендикулярні прямі при перетині утворюють чотири прямі кути, кожен із яких дорівнює 90°.

4. Скільки градусів тупий кут?

Тупий кут має градусну міру більшу за 90°, але меншу за 180°.

5. Скільки градусів розгорнутий кут?

Розгорнутий кут завжди дорівнює 180°.

6. Скільки градусів прямий кут?

Прямий кут дорівнює 90°.

7. Скільки градусів гострий кут?

Гострий кут має градусну міру більшу за 0°, але меншу за 90°.

8. 89 градусів — це який кут?

Кут 89° є гострим, оскільки його градусна міра менша за 90°.

Розуміння цих базових правил стане основою для вивчення складніших тем — від властивостей трикутників і многокутників до стереометрії та тригонометрії.

Репетитор з математики допоможе вам розвивати математичне мислення та вдосконалювати навички розв'язування задач для покращення успішності в школі, а також для ефективної підготовки до олімпіади з математики.