Формули тригонометрії: основні правила та приклади

Тригонометрія — один із важливих розділів математики, який вивчають у школі під час курсу геометрії. Саме вона допомагає працювати з кутами, трикутниками та періодичними функціями.

Щоб упевнено розв’язувати тригонометричні рівняння й нерівності, потрібно знати основні формули: додавання, зведення, подвійного кута та інші співвідношення між тригонометричними функціями. У цій статті ми розглянемо найважливіші з них.

Що вивчає тригонометрія?

Тригонометрія — це розділ математики, який досліджує залежність між кутами та сторонами трикутників, а також властивості спеціальних функцій:

• синуса (sin),

• косинуса (cos),

• тангенса (tg),

• котангенса (ctg).

Спочатку тригонометрія використовувалася для вивчення прямокутних трикутників. Наприклад, за допомогою відомих кутів можна знайти довжину сторін трикутника.

Згодом ці функції почали розглядати ширше — як математичні функції кута, які застосовують у різних задачах.

Основні тригонометричні співвідношення:

sin²x + cos²x = 1

tg x = sin x / cos x

ctg x = cos x / sin x

Формули тригонометричних рівнянь

Під час розв’язування задач часто потрібно перетворювати тригонометричні вирази. Для цього використовують спеціальні формули. Розгляньмо їх детальніше.

Формули зведення

Формули зведення допомагають перетворювати тригонометричні функції кутів виду:

90° ± α

180° ± α

270° ± α

Наприклад:

sin(90° − α) = cos α

cos(90° − α) = sin α

sin(180° − α) = sin α

cos(180° − α) = −cos α

tg(180° + α) = tg α

Ці формули дозволяють зводити складні кути до простіших.

Приклад: cos(90° − 30°) = sin 30° = 1/2.

Формули додавання

Формули додавання використовують тоді, коли потрібно знайти значення функції суми або різниці кутів.

Основні формули:

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ

cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ

cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 − tgα tgβ)

Приклад: sin(30° + 45°) = sin30° cos45° + cos30° sin45°.

Формула зниження степеня

Ці формули допомагають перетворювати квадрати тригонометричних функцій:

sin²x = (1 − cos2x) / 2

cos²x = (1 + cos2x) / 2

Їх часто використовують під час спрощення складних виразів або інтегралів.

Приклад: sin²30° = (1 − cos60°) / 2.

Формули тригонометричних функцій

Між тригонометричними функціями існують важливі співвідношення. Основні з них:

sin²x + cos²x = 1

1 + tg²x = 1 / cos²x

1 + ctg²x = 1 / sin²x

Вони дозволяють виражати одну функцію через іншу.

Приклад: якщо sin x = 1/2, то cos x = √(1 − sin²x).

Формули тригонометричних нерівностей

Тригонометричні нерівності — це нерівності, що містять тригонометричні функції.

Наприклад:

sin x > 0

cos x ≤ 1/2

tg x < 0

Щоб розв’язувати такі нерівності, потрібно:

1. знайти значення функції на тригонометричному колі;

2. визначити проміжки, де функція більша або менша за потрібне значення;

3. записати загальний розв’язок.

Приклад: sin x > 0.

Розв’язок: 0 + 2πk < x < π + 2πk, де k — будь-яке ціле число.

Тригонометричні формули подвійного кута

Формули подвійного кута використовують тоді, коли аргумент функції подвоюється.

Основні формули:

sin2α = 2 sinα cosα

cos2α = cos²α − sin²α

cos2α = 2cos²α − 1

cos2α = 1 − 2sin²α

tg2α = (2tgα) / (1 − tg²α)

Приклад: sin(2 × 30°). sin60° = √3 / 2.

Формули тригонометрії допомагають перетворювати та спрощувати вирази, знаходити значення тригонометричних функцій і розв’язувати рівняння та нерівності.

Регулярна практика й розв’язування задач з репетитором з геометрії допомагають швидко запам’ятати ці формули та навчитися застосовувати їх на практиці.

Ця тема також є важливою для підготовки до НМТ з математики, тому пам’ятайте, що будь-які, на перший погляд, складні теми ви можете розібрати індивідуально в онлайн-форматі з репетитором з математики.