Числові послідовності

Числова послідовність — це впорядкований набір чисел, утворений за певним правилом. Послідовності використовують для опису закономірностей, розв’язування задач і моделювання процесів, які змінюються крок за кроком.

За допомогою числових послідовностей ми також можемо описати збільшення банківського вкладу, поширення інформації, зміну температури протягом кількох днів або ж кількість місць у рядах глядацької зали.

Щоб працювати з такими наборами чисел, потрібно навчитися знаходити закономірність і визначати будь-який член за його номером.

У цій статті ми розглянемо основні види числових послідовностей, способи задання та найважливіші формули.

Що таке числова послідовність?

Числова послідовність — це набір чисел, розташованих у певному порядку. Кожне число називають членом послідовності, а його місце позначають натуральним числом.

Наприклад: 2; 4; 6; 8; 10; …

Це послідовність парних натуральних чисел. Перший член дорівнює 2, другий — 4, третій — 6: a₁ = 2; a₂ = 4; a₃ = 6.

Загальне позначення послідовності — (aₙ), де aₙ означає член із номером n. Номер вказує не на значення числа, а на його позицію.

Наприклад, у послідовності 5; 10; 15; 20; … число 15 є третім членом, тому a₃ = 15.

Послідовність також можна розглядати як функцію, аргументами якої є натуральні числа. Кожному номеру n відповідає лише одне значення aₙ.

Які бувають числові послідовності?

За кількістю членів послідовності поділяють на:

• скінченні — мають визначену кількість членів, наприклад 2; 4; 6; 8;

• нескінченні — продовжуються без кінця, наприклад 1; 2; 3; 4; ….

За характером зміни значень розрізняють:

• зростаючі — кожний наступний член більший за попередній: 1; 3; 5; 7; …;

• спадні — кожний наступний член менший за попередній: 20; 16; 12; 8; …;

• сталі — всі члени мають однакове значення: 6; 6; 6; 6; …;

• періодичні — певна група значень повторюється: 1; −1; 1; −1; ….

Окремо виділяють арифметичну та геометричну прогресії:

• в арифметичній прогресії сусідні члени відрізняються на одне й те саме число: 3; 7; 11; 15. Тут до кожного попереднього значення додають 4;

• у геометричній прогресії кожний наступний член отримують множенням попереднього на постійне число: 2; 6; 18; 54. У цьому прикладі кожний член множать на 3.

Послідовність також може бути обмеженою. Наприклад, усі члени послідовності 1; 1/2; 1/3; 1/4; … більші за 0 і не перевищують 1.

Способи задання послідовностей

Числову послідовність можна задати кількома способами:

1. Переліком членів.

Записуємо кілька послідовних значень, за якими можна помітити закономірність: 4; 8; 12; 16; …

Такий запис є простим, але не завжди однозначним. За кількома числами іноді можна запропонувати різні правила продовження.

2. Словесним описом.

Правило формулюємо словами: «Кожний член послідовності дорівнює квадрату його номера». Отримаємо: 1; 4; 9; 16; 25; …

3. Формулою загального члена.

Значення aₙ виражаємо через його номер. Наприклад: aₙ = 3 × n + 1.

Тоді:

a₁ = 3 × 1 + 1 = 4;

a₂ = 3 × 2 + 1 = 7;

a₅ = 3 × 5 + 1 = 16.

4. Рекурентним способом.

Зазначаємо перший член і пояснюємо, як знайти наступний через попередній. Наприклад: a₁ = 2; aₙ₊₁ = aₙ + 5.

Отже, послідовність має вигляд 2; 7; 12; 17; …

Рекурентно задана послідовність може залежати й від двох попередніх членів. Відомий приклад — числа Фібоначчі: a₁ = 1; a₂ = 1; aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ.

Так утворюється ряд 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …

Послідовність також можна подати таблицею або графічно. У таблиці одному рядку номерів n відповідає рядок значень aₙ, а на графіку її члени позначають окремими точками з координатами (n; aₙ).

Формули числових послідовностей

Основною є формула загального члена: aₙ = f(n), де:

• n — номер;

• f(n) — правило обчислення відповідного значення.

Для послідовності натуральних непарних чисел використовують формулу: aₙ = 2 × n − 1.

За нею a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 5.

Формула n-го члена арифметичної прогресії: aₙ = a₁ + (n − 1) × d, де:

• a₁ — перший член;

• d — різниця прогресії.

Наприклад, якщо a₁ = 5, а d = 3, то: a₆ = 5 + (6 − 1) × 3 = 20.

Формула n-го члена геометричної прогресії: bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹, де:

• b₁ — перший член;

• q — знаменник прогресії.

Якщо b₁ = 2, а q = 4, то: b₄ = 2 × 4³ = 2 × 64 = 128.

Щоб правильно обрати формулу, потрібно визначити, як пов’язані сусідні значення. Якщо до них додають однакове число, маємо арифметичну прогресію. Якщо ж множать на однакове число — геометричну.

Знаходити закономірності, розібратися у формулах і навчитися застосовувати їх у задачах вам допоможе репетитор з математики в індивідуальному онлайн-форматі.

Приклади числової послідовності

Приклад 1. Послідовність задано формулою aₙ = n² + 2. Знайдемо перші чотири члени:

a₁ = 1² + 2 = 3;

a₂ = 2² + 2 = 6;

a₃ = 3² + 2 = 11;

a₄ = 4² + 2 = 18.

Отримуємо 3; 6; 11; 18; …

Приклад 2. Визначимо наступні числа: 4; 12; 36; 108; …

Кожне значення втричі більше за попереднє, тому це геометрична прогресія зі знаменником q = 3.

Наступні члени: 324 і 972.

Приклад 3. Послідовність має вигляд 18; 15; 12; 9; … Треба знайти десятий член.

Різниця становить d = −3, тому:

a₁₀ = 18 + (10 − 1) × (−3) = 18 − 27 = −9.

Складніші закономірності можуть поєднувати декілька арифметичних дій або залежати від парності номера. Такі задачі розвивають логічне мислення, тому часто входять у програми підготовки до олімпіади з математики.

Отже, числова послідовність складається з упорядкованих членів, кожен із яких має свій номер. Її можна задати переліком, словесним правилом, формулою або ж рекурентно. Для розв’язування таких задач важливо визначити закономірність, правильно підставити номер у формулу та перевірити отримане значення на перших членах.

Систематизувати ці правила, повторити формули та навчитися швидко виконувати завдання для ефективної підготовки до НМТ з математики ви можете з індивідуальною допомогою репетитора.