Дроби: види, правила та приклади обчислень

Дроби допомагають описати частину цілого: половину яблука, третину шляху, чверть години або кілька шматочків піци. Їх використовують у кулінарії, будівництві, фінансах, медицині та під час різноманітних вимірювань.

Більшість подібних завдань розв’язується за чіткими алгоритмами. Для цього потрібно зрозуміти будову дробу, навчитися знаходити спільний знаменник і правильно виконувати кожну арифметичну дію.

Тож розгляньмо основні види дробів, правила виконання арифметичних дій, розв’язані приклади й типові помилки.

Що таке дріб?

Дріб — це число, яке позначає одну або кілька рівних частин цілого. Звичайний дріб записують у вигляді: a/b, де a — чисельник, а b — знаменник.

Наприклад, у дробі 3/5:

• число 3 є чисельником і показує, скільки частин узяли;

• число 5 є знаменником і показує, на скільки рівних частин поділили ціле.

Риску між числами можна розуміти як знак ділення: 3/5 = 3 ÷ 5 = 0,6.

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, оскільки ділити на нуль не можна.

Тож які бувають дроби?

Правильні дроби

Дріб називають правильним, якщо його чисельник менший за знаменник, наприклад: 2/3, 5/8, 7/10.

Значення правильного дробу завжди більше за 0, але менше за 1.

Неправильні дроби

У неправильному дробі чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, наприклад: 7/4, 9/5, 6/6.

Такий дріб дорівнює 1 або є більшим за 1.

Наприклад: 6/6 = 1, а 7/4 містить одну цілу одиницю та ще три четвертих.

Мішані числа

Мішане число складається із цілої та дробової частин, наприклад: 2 1/3, 4 5/7, 10 1/2.

Число 2 1/3 означає дві цілих одиниці та ще одну третину.

Щоб перетворити мішане число на неправильний дріб, потрібно:

1. помножити цілу частину на знаменник;

2. додати чисельник;

3. записати результат над тим самим знаменником.

Наприклад: 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3.

Для зворотного перетворення чисельник ділять на знаменник: 11/4 = 2 3/4, оскільки 11 ÷ 4 = 2, а залишок дорівнює 3.

Десяткові дроби

Десятковий дріб записують за допомогою коми, наприклад: 0,5; 1,25; 3,075.

Звичайний дріб можна перетворити на десятковий, поділивши чисельник на знаменник: 1/2 = 1 ÷ 2 = 0,5.

А деякі дроби утворюють нескінченні десяткові записи, наприклад: 1/3 = 0,333…

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник помножити або поділити на те саме число, відмінне від нуля, значення дробу не зміниться.

Наприклад:

2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6.

Так само:

8/12 = (8 ÷ 4)/(12 ÷ 4) = 2/3.

Ця властивість потрібна для скорочення дробів і зведення їх до спільного знаменника.

Як скорочувати дроби?

Скоротити дріб означає поділити його чисельник і знаменник на спільний дільник.

Наприклад, скоротимо дріб 18/24. Обидва числа діляться на 6: 18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4.

Якщо чисельник і знаменник більше не мають спільних дільників, крім 1, дріб називають нескоротним.

Щоб одразу отримати найпростішу форму, можна поділити обидва числа на їхній найбільший спільний дільник. У нашому прикладі (для чисел 18 і 24) він дорівнює 6.

Як порівнювати дроби?

Якщо знаменники однакові, більшим є дріб із більшим чисельником: 5/8 > 3/8.

Якщо чисельники однакові, більшим є дріб із меншим знаменником: 3/4 > 3/7.

Це пояснюється тим, що за меншої кількості частин кожна з них має більший розмір.

Дроби з різними чисельниками та знаменниками потрібно звести до спільного знаменника. Порівняймо 2/3 і 3/5. Спільним знаменником буде 15:

2/3 = 10/15;

3/5 = 9/15.

Оскільки 10/15 > 9/15, отримуємо:

2/3 > 3/5.

Також можна виконати перехресне множення:

2 × 5 = 10;

3 × 3 = 9.

Оскільки 10 > 9, перший дріб більший.

Додавання та віднімання дробів

1. Дроби з однаковими знаменниками

Якщо знаменники однакові, додаємо або віднімаємо лише чисельники. Знаменник залишаємо без змін:

2/7 + 3/7 = 5/7.

6/11 − 4/11 = 2/11.

Додавати знаменники не потрібно, адже розмір частин не змінюється.

2. Дроби з різними знаменниками

Спочатку потрібно знайти спільний знаменник, перетворити дроби, а потім виконати дію.

Наприклад: 1/3 + 1/4.

Найменший спільний знаменник чисел 3 і 4 — 12:

1/3 = 4/12;

1/4 = 3/12.

Отже:

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.

Розглянемо віднімання: 5/6 − 1/4

Спільний знаменник — 12:

5/6 = 10/12;

1/4 = 3/12.

10/12 − 3/12 = 7/12.

Множення дробів

Щоб помножити звичайні дроби, потрібно окремо перемножити чисельники та знаменники: a/b × c/d = (a × c)/(b × d).

Наприклад: 2/3 × 5/7 = 10/21.

Перед множенням числа можна скоротити.

Обчислимо: 4/9 × 3/8.

Скорочуємо 4 і 8 на 4, а 3 і 9 — на 3.

Отримуємо: 1/3 × 1/2 = 1/6.

Якщо потрібно помножити дріб на ціле число, його записують зі знаменником 1, наприклад: 3/5 × 10 = 3/5 × 10/1 = 30/5 = 6.

Ділення дробів

Щоб поділити один дріб на інший, другий дріб перевертають і замінюють ділення множенням: a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Наприклад: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8.

Перевертати потрібно лише другий дріб — той, на який ділять.

На індивідуальних онлайн-заняттях репетитор з математики може пояснити цю та будь-яку іншу потрібну тему простими словами і навчити швидко виконувати подібні завдання.

Приклади задач із дробами

Задача 1.

Учениця прочитала 3/8 книжки в понеділок і ще 2/8 у вівторок. Яку частину книжки вона прочитала?

3/8 + 2/8 = 5/8.

Відповідь: Учениця прочитала 5/8 книжки.

Задача 2.

У пляшці було 3/4 літра соку. Використали 1/3 цієї кількості. Скільки соку використали?

3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4 літра.

Відповідь: використали 1/4 літра.

Задача 3.

Стрічку завдовжки 5/6 метра розрізали на частини по 1/6 метра. Скільки частин отримали?

5/6 ÷ 1/6 = 5/6 × 6/1 = 5.

Відповідь: отримали 5 частин.

Де дроби використовуються в житті?

Дроби потрібні під час:

• приготування страв за рецептом;

• вимірювання довжини, маси й об’єму;

• розподілу предметів між людьми;

• визначення часу;

• обчислення частини виконаної роботи;

• планування витрат;

• читання масштабів і креслень;

• аналізу статистичних даних.

Наприклад, чверть години — це 1/4 від 60 хвилин: 60 × 1/4 = 15 хвилин.

А половина кілограма дорівнює: 1/2 × 1000 = 500 грамів.

Типові помилки під час роботи з дробами

1. Додавання знаменників. Вираз 2/7 + 3/7 дорівнює 5/7, а не 5/14.

2. Дії без спільного знаменника. Не можна одразу додавати чисельники дробів 1/2 і 1/3.

3. Неправильне скорочення. Чисельник і знаменник потрібно ділити на одне й те саме число.

4. Перевертання першого дробу під час ділення. Оберненим роблять лише другий дріб.

5. Виконання дій із мішаними числами без перетворення. Перед множенням і діленням їх краще записати як неправильні дроби.

6. Відсутність скорочення відповіді. Результат 6/8 правильний, але його потрібно спростити до 3/4.

Відповіді на поширені запитання

1. Що показує чисельник дробу?

Чисельник дробу показує, скільки рівних частин взяли.

2. Що показує знаменник?

Знаменник вказує, на скільки рівних частин поділили ціле.

3. Чи може чисельник дорівнювати нулю?

Так. Дріб 0/5 дорівнює нулю.

4. Чи може знаменник дорівнювати нулю?

Ні, оскільки ділити на нуль не можна.

5. Як перевірити, чи можна скоротити дріб?

Потрібно визначити, чи мають чисельник і знаменник спільний дільник, більший за 1.