Відсотки: формули, правила та приклади задач

За допомогою відсотків магазини позначають знижки, банки нараховують відсотки за депозитами й кредитами, а дослідники представляють результати опитувань. Уміння правильно виконувати такі обчислення допомагає порівнювати ціни, планувати бюджет і критично оцінювати інформацію, тому ця тема є важливою не лише для шкільної програми.

Більшість задач на відсотки можна розв’язати за кількома простими алгоритмами. Головне — визначити, яка величина становить 100% і що саме потрібно знайти. У цій статті ми пояснимо основні формули, розглянемо типові задачі та покажемо, як відсотки використовуються у повсякденному житті.

Що таке відсоток?

Відсоток — це одна сота частина певної величини. Його позначають знаком %.

1% = 1 ÷ 100 = 0,01.

Наприклад, 1% від 500 дорівнює: 500 ÷ 100 = 5. Отже, 1% від 500 — це 5.

Щоб перевести відсотки в десятковий дріб, потрібно поділити число на 100:

• 5% = 5 ÷ 100 = 0,05;

• 25% = 25 ÷ 100 = 0,25;

• 75% = 75 ÷ 100 = 0,75;

• 100% = 1;

• 150% = 1,5.

Для зворотного перетворення десятковий дріб множать на 100%:

• 0,2 × 100% = 20%;

• 0,45 × 100% = 45%;

• 1,08 × 100% = 108%.

Відсоток може бути більшим за 100. Наприклад, 150% від 40 дорівнює 60, тобто результат у півтора раза більший за початкове число.

Основні формули для обчислення відсотків

Задачі на відсотки можна поділити на чотири основні типи:

1. Знайти відсоток від числа.

2. Знайти число за його відсотком.

3. Визначити, скільки відсотків одне число становить від іншого.

4. Збільшити або зменшити величину на певний відсоток.

Розгляньмо ці завдання.

Як знайти відсоток від числа?

Щоб знайти p% від числа a, потрібно число помножити на відсоток і поділити на 100:

Шукане значення = a × p ÷ 100

Наприклад, знайдемо 20% від 350: 350 × 20 ÷ 100 = 70. Отже, 20% від 350 дорівнює 70.

Також можна спочатку перевести відсоток у десятковий дріб: 20% = 0,2; 350 × 0,2 = 70.

Обидва способи дають однаковий результат.

Як знайти число за його відсотком?

Якщо відомо, що певне значення b становить p% від усього числа, використовуємо формулу:

Ціле число = b × 100 ÷ p

Наприклад, 30% певного числа дорівнюють 90. Знайдемо це число: 90 × 100 ÷ 30 = 300. Отже, початкове число — 300.

Перевірка: 300 × 30 ÷ 100 = 90.

Як визначити відсоткове відношення двох чисел?

Щоб дізнатися, скільки відсотків число a становить від числа b, потрібно використати таку формулу:

Відсоток = a ÷ b × 100%

Наприклад, у класі навчається 30 учнів, із яких 18 відвідують спортивні секції. Визначимо їхню частку: 18 ÷ 30 × 100% = 60%. Отже, спортивні секції відвідують 60% учнів класу.

У цій формулі важливо не переплутати числа. Ми ділимо ту частину, відсоток якої потрібно знайти, на загальну величину.

Як збільшити або зменшити число на відсоток?

Щоб збільшити число a на p%, використовуємо формулу:

Нове значення = a × (1 + p ÷ 100)

Наприклад, ціна товару становила 800 грн і зросла на 15%: 800 × (1 + 15 ÷ 100) = 800 × 1,15 = 920 грн.

Щоб зменшити число на p%, формула матиме вигляд:

Нове значення = a × (1 − p ÷ 100)

Якщо товар коштує 800 грн, а знижка становить 15%: 800 × (1 − 15 ÷ 100) = 800 × 0,85 = 680 грн.

Як розв’язувати задачі на відсотки?

У задачах варто дотримуватися послідовного алгоритму:

1. Визначте, що становить 100%.

2. З’ясуйте, що відомо: ціле число, його частина чи відсоток.

3. Оберіть потрібну формулу.

4. Виконайте обчислення.

5. Перевірте, чи є результат логічним.

6. Запишіть відповідь із відповідними одиницями.

Наприклад, якщо після знижки отримано число, яке більше за початкову ціну, у розрахунках допущено помилку. Така перевірка допоможе вам помітити неправильну дію ще до запису відповіді.

Приклади задач на відсотки

Задача 1. Знижка в магазині

Куртка коштувала 2400 грн. Магазин встановив знижку 25%. Знайдемо розмір знижки:

2400 × 25 ÷ 100 = 600 грн.

Тепер обчислимо нову ціну:

2400 − 600 = 1800 грн.

Відповідь: після знижки куртка коштує 1800 грн.

Задача 2. Пошук початкової ціни

Після знижки 20% товар коштує 1200 грн. Після зменшення залишилося:

100% − 20% = 80%.

Отже, 1200 грн — це 80% початкової ціни:

1200 × 100 ÷ 80 = 1500 грн.

Відповідь: початкова ціна становила 1500 грн.

Задача 3. Результат тесту

Учень правильно виконав 36 із 40 завдань:

36 ÷ 40 × 100% = 90%.

Відповідь: учень виконав тест на 90%.

Задача 4. Збільшення кількості

У бібліотеці було 1200 книжок. Після поповнення їхня кількість зросла на 10%:

1200 × 10 ÷ 100 = 120.

1200 + 120 = 1320.

Відповідь: у бібліотеці тепер 1320 книжок.

Якщо визначати тип задачі або правильно складати послідовність дій поки що здається складним, онлайн-заняття з репетитором допоможуть вам розібрати формули на конкретних прикладах і навчитися застосовувати їх самостійно.

Збільшення та зменшення на кілька відсотків

Важливо пам’ятати: послідовне збільшення і зменшення на однаковий відсоток не повертає початкове значення.

Наприклад, ціна становила 1000 грн. Спочатку вона зросла на 20%:

1000 × 1,2 = 1200 грн.

Потім нову ціну зменшили на 20%:

1200 × 0,8 = 960 грн.

Отримали не 1000, а 960 грн. Причина полягає в тому, що вдруге 20% обчислювали вже від іншого числа — 1200.

Так само не можна просто додавати відсотки, якщо їх нараховують послідовно від нової величини. Збільшення на 10%, а потім ще на 10% дає: 1,1 × 1,1 = 1,21, тобто загальне зростання становить 21%, а не 20%.

Де використовуються відсотки?

У повсякденному житті відсотки застосовують для:

• розрахунку знижок і націнок;

• визначення податків;

• нарахування відсотків за кредитами й депозитами;

• аналізу результатів тестів;

• порівняння статистичних даних;

• визначення складу продуктів;

• обчислення зміни ціни або зарплати;

• аналізу успішності та відвідуваності;

• опису ймовірності певної події.

Наприклад, напис «жирність молока 2,5%» означає, що на кожні 100 одиниць продукту припадає приблизно 2,5 одиниці жиру. А заряд батареї 80% показує, яка частина її повної місткості залишилася.

Типові помилки під час обчислення відсотків

1. Неправильно визначене ціле. Перед розрахунком обов’язково потрібно встановити, яке число становить 100%.

2. Плутання частини та цілого. У відсотковому відношенні частину ділять на загальну величину, а не навпаки.

3. Віднімання самого відсотка. Зменшити 500 на 20% не означає обчислити 500 − 20. Спочатку потрібно знайти 20% від 500.

4. Неправильне переведення в десятковий дріб. Наприклад, 7% = 0,07, а не 0,7.

5. Додавання послідовних змін. Якщо величина кілька разів збільшується або зменшується, кожен новий відсоток обчислюють від оновленого значення.

6. Відсутність перевірки. Якщо потрібно знайти 10% від числа, відповідь має бути значно меншою за початкову величину.

Відповіді на поширені запитання

Чому дорівнює 1% від числа?

Щоб знайти 1%, потрібно поділити число на 100. Наприклад, 1% від 700 дорівнює 7.

Як швидко знайти 10%?

Потрібно поділити число на 10. Наприклад, 10% від 450 дорівнює 45.

Як знайти 5% без складних обчислень?

Спочатку знайдіть 10%, а потім поділіть результат навпіл. Для числа 600 маємо: 10% = 60, тому 5% = 30.