Які теми з геометрії обов’язково потрібно знати? 8 клас

Геометрія у 8 класі стає насиченішою: учні вже вміють розпізнавати фігури, а тепер також доводять їхні властивості, встановлюють зв’язки між сторонами та кутами й виконують обчислення.

Розгляньмо основні теми з курсу геометрії для 8 класу, правила й формули, які знадобляться під час контрольних робіт, подальшого навчання та підготовки до НМТ. Матеріал у цій статті продовжує теми з геометрії за 7 клас: кути, паралельні прямі, трикутники та кола.

Які теми вивчаються в курсі геометрії 8 класу?

До основного змісту курсу входять чотирикутники, вписані й описані фігури, подібність трикутників, прямокутні трикутники та площі многокутників. Розгляньмо їх окремо.

Чотирикутники та їхні властивості

Чотирикутник — це многокутник, який має чотири сторони, чотири вершини й дві діагоналі. Сума його внутрішніх кутів дорівнює: α + β + γ + δ = 360°.

У 8 класі потрібно навчитися розрізняти основні види чотирикутників:

1. Паралелограм — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Його протилежні сторони й кути рівні, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

2. Прямокутник — паралелограм, усі кути якого прямі. Його діагоналі рівні та діляться точкою перетину навпіл.

3. Ромб — паралелограм із рівними сторонами. Діагоналі ромба перпендикулярні, діляться навпіл і є бісектрисами його кутів.

4. Квадрат одночасно має властивості прямокутника та ромба: усі його сторони рівні, усі кути прямі, а діагоналі рівні й перпендикулярні.

5. Трапеція — чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші — непаралельні. Паралельні сторони називають основами.

Теорема Фалеса та середні лінії

Теорема Фалеса допомагає ділити відрізки на рівні частини та доводити пропорційність певних елементів фігури.

Середня лінія трикутника сполучає середини двох його сторін. Вона паралельна третій стороні та дорівнює половині її довжини: m = a / 2.

Середня лінія трапеції сполучає середини її бічних сторін. Вона паралельна основам і дорівнює їхній півсумі: m = (a + b) / 2.

Наприклад, якщо основи трапеції дорівнюють 8 см і 14 см, її середня лінія становить: m = (8 + 14) / 2 = 11 см.

Центральні та вписані кути

Центральний кут має вершину в центрі кола. Його градусна міра дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається.

Вершина вписаного кута лежить на колі, а його сторони перетинають коло. Вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута або половині дуги, на яку він спирається: β = α / 2.

Усі вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні. Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90°.

Вписані й описані чотирикутники

Чотирикутник є вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Сума протилежних кутів такої фігури дорівнює 180°:

• α + γ = 180°;

• β + δ = 180°.

Коло є вписаним у чотирикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін. Для описаного навколо кола чотирикутника суми довжин протилежних сторін рівні: a + c = b + d.

Ці властивості часто використовують для того, щоб знайти невідомий кут або сторону без складних побудов.

Подібність трикутників

Подібні трикутники мають відповідно рівні кути та пропорційні сторони. Якщо трикутники подібні, їхні відповідні сторони відносяться з однаковим коефіцієнтом: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ = k.

Основні ознаки подібності трикутників:

• за двома кутами;

• за двома пропорційними сторонами й рівними кутами між ними;

• за трьома пропорційними сторонами.

Не варто плутати подібність із рівністю. Рівні трикутники мають однакову форму та розміри, а подібні — однакову форму, але можуть відрізнятися розмірами.

Подібність використовують для визначення висоти предметів, відстаней і розмірів об’єктів за картою або масштабною моделлю.

Теорема Піфагора

Теорема Піфагора встановлює зв’язок між сторонами прямокутного трикутника.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: c² = a² + b², де:

• c — гіпотенуза;

• a і b — катети.

Наприклад, якщо катети дорівнюють 6 см і 8 см, то  c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100; c = 10 см.

Якщо для сторін трикутника виконується рівність c² = a² + b², то цей трикутник є прямокутним.

Розв’язування прямокутних трикутників

Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі сторони та кути. Для прямокутного трикутника використовують теорему Піфагора й співвідношення між сторонами та гострими кутами.

Синус гострого кута: sin α = протилежний катет / гіпотенуза.

Косинус гострого кута: cos α = прилеглий катет / гіпотенуза.

Тангенс гострого кута: tg α = протилежний катет / прилеглий катет.

Щоб правильно обрати формулу, потрібно визначити гіпотенузу та встановити, який катет є прилеглим або протилежним до заданого кута.

Площі многокутників

У 8 класі учні вчаться знаходити площі основних геометричних фігур:

• прямокутник: S = a × b;

• квадрат: S = a²;

• паралелограм: S = a × h;

• трикутник: S = (a × h) / 2;

• ромб: S = (d₁ × d₂) / 2;

• трапеція: S = ((a + b) × h) / 2.

У формулах a і b позначають сторони або основи, h — висоту, а d₁ і d₂ — діагоналі.

Пам’ятайте, що перед обчисленням важливо привести всі величини до однакових одиниць. Якщо сторона подана в метрах, а висота — у сантиметрах, спочатку потрібно виконати перетворення.

Які формули з геометрії за 8 клас потрібно знати?

Для контрольних робіт і подальшої підготовки до НМТ з математики варто запам’ятати:

• суму кутів чотирикутника — 360°;

• суму внутрішніх кутів опуклого n-кутника — (n − 2) × 180°;

• середню лінію трикутника — m = a / 2;

• середню лінію трапеції — m = (a + b) / 2;

• теорему Піфагора — c² = a² + b²;

• синус, косинус і тангенс гострого кута;

• формули площ трикутника та основних чотирикутників;

• властивості вписаних і описаних чотирикутників.

Приклади застосування матеріалу в задачах

Розгляньмо поширені задачі з геометрії за 8 клас.

Приклад 1

Основи трапеції дорівнюють 10 см і 16 см. Знайдемо її середню лінію:

m = (10 + 16) / 2 = 13 см.

Відповідь: 13 см.

Приклад 2

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см:

c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225;

c = 15 см.

Відповідь: 15 см.

Приклад 3

Основи трапеції дорівнюють 9 см і 15 см, а висота — 6 см:

S = ((9 + 15) × 6) / 2 = 72 см².

Відповідь: 72 см².

Як добре вивчити геометрію у 8 класі?

Під час розв’язування кожної задачі робіть малюнок, записуйте умову короткими позначеннями та визначайте, які властивості фігури можна використати. Формули краще запам’ятовуються через практику, тому після вивчення правила варто виконати кілька завдань різного типу.

Якщо окремі теми залишаються незрозумілими, онлайн-репетитор з геометрії допоможе вам повторити матеріал 7 класу, пояснить нові теореми та навчить послідовно розв’язувати завдання.